Relations entre forces et déformations, loi de Hooke et coefficient de Poisson

Relations entre forces et déformations, loi de Hooke et coefficient de Poisson

 Loi de Hooke

Soit un parallélépipède rectangle élémentaire dont 3 arêtes définissent le trièdre O_xyz (figure ci-dessous). On exerce une traction uniforme N_z sur les faces normales à O_z de valeur N_z par unité de surface, parallèle à O_z.

On a, τzz = Nz et τxx=τyy=τyz=τzx=τxy =O.

Cette figure illustre Le parallélépipède rectangle élémentaire sur lequel on établit les relations forces–déformations pour des allongements (positif ou négatif) infiniment petits. La théorie de l’élasticité n’est qu’une théorie limite.@ Geophysique

Donc si le corps est isotrope, le volume reste un parallélipipède rectangle, l’arête de longueur l parallèle à Oz s’allonge de Δl. Son allongement relatif est :

On appelle E le module d’Young qui est homogène à une pression. Il s’agit d’un module de raideur. Plus il est grand et moins le corps est élastique. Ainsi, pour allonger de 1mm un fil de fer (module d’Young E = 20 000 kg/mm2) de 1 mm de diamètre et de 1 mètre de long, il faut exercer une traction de 15,5 kg. Pour un fil identique en argent (E = 7 000 kg/mm2), il suffit de 5,5 kg.

Coefficient de Poisson

Lorsqu’on allonge le corps suivant 0z les arêtes du parallélépipède subissent une contraction, avec σ le coefficient de Poisson. C’est un nombre sans dimension qui pour les solides parfaits vaut 1/4.

Généralisons maintenant à l’ensemble du parallélépipède en exerçant sur ses faces les tractions Nx, Ny, Nz. Le principe de la superposition permet d’écrire la loi de Hooke :

δx =1/E* (Nx − σNy − σNz)

δy =1/E*(−σNx + Ny − σNz)

δz =1/E*(−σNx − σNy + Nz)

Cette loi peut être vérifiée expérimentalement. Elle l’est d’autant mieux que les efforts sont petite.

<<< Principes de la théorie de l’élasticité          Traction normale uniforme d’une plaque infinie >>>